Квадратные уравнения: формулы решения, дискриминант, корни. Виды квадратных уравнений. Примеры, графики. Мнимые числа.





Квадратные уравнения

формулы решения, дискриминант, корни действительные и мнимые. Примеры квадратных уравнений, графики.





1. Общий вид квадратного уравнения


Квадратное уравнение, или алгебраическое уравнение 2–й степени с одним неизвестным в общем виде записывается следующим образом:

ax2 + bx + c = 0,

где:

  • a, b, c — известные коэффициенты, причем a ≠ 0.
  • x — неизвестное.

Пример.

3x2 + 8x - 5 = 0.

2. Виды квадратных уравнений


Разделив обе части уравнения на a, получим приведенное квадратное уравнение:


x2 + px + q = 0,

где:

  • p = b/a
  • q = c/a

Если один из коэффициентов b, c или оба одновременно равны 0, то квадратное уравнение называется неполным.

Примеры.

  • x2+8x-5=0 — полное приведенное квадратное уравнение.
  • 3x2-5=0 — не полное не приведенное квадратное уравнение.
  • x2-8x=0 — не полное приведенное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение вида

x2 = m

самое простое и самое важное, т.к. к нему приводится решение всякого квадратного уравнения.

Возможны три случая:

  • m = 0, x = 0
  • m > 0, x = ±√‾m
  • m < 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Решение квадратного уравнения


Корни неприведенного полного квадратного уравнения находятся по формуле

x = (-b ± √‾(b2 - 4ac)) / 2a

Пример:

3x2 - 7x + 4=0

x = (7 ± √‾(72 - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

x1 = 4/3

x2 = 1

4. Свойства корней квадратного уравнения. Дискриминант.


Согласно формуле корней квадратного уравнения могут быть три случая, определяемых подкоренным выражением (b2 - 4ac). Оно называется дискриминантом (различающим).

Обозначая дискриминант буквой D, можно записать:

  • D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
  • D = 0, уравнение имеет два равных между собой действительных корня.
  • D < 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.

x = (-b ± √‾(b2 - 4ac)) / 2a

Пример:

3x2 - 7x + 4=0

x = (7 ± √‾(72 - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

x1 = 4/3

x2 = 1

5. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача -- пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича.

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.
 
Google



Google